Opposition entre une démonstration qui ne consiste qu’à persuader ( la démonstration d’un veudeur) et la véritable démonstration qui veut parvenir à entraîner l’adhésion rationnelle.

L’outil de la démonstration est la logique.
La logique est ce qui sert de base à tout démonstration. Mais ou la démonstration est un argument ou bien elle entraîne l’adhésion obligatoire de l’interlocuteur.

L’argumentation serait de l’ordre de la philosophie et la démonstration incontestable de l’ordre des mathématiques.
D’abord donc étudier la logique, puis le rapport entre les mathématiques et la philosophie pour considérer dans quelle mesure la distinction entre argumentation et démonstration mathématique s’avère justifiée.

 

I/ LA LOGIQUE

 

A) Définition

 

Une discipline qui a pour but de déterminer les conditions formelles de toute pensée valide.

C'est une réponse à la question comment penser.

Une étude de la logique s'intéresse au rapport qu'entretiennent des termes, indépendamment de ce que sont ces termes eux mêmes.

C'est une discipline normative puisqu'elle détermine la validité d'une opération par rapport à une norme : le vrai ( autres discipline normatives: l'éthique et l'esthétique.)

C'est une discipline formelle puisqu'elle est indépendante du contenu des opérations qu'elle considère.

 

B) les opérations logiques

 

- La conceptualisation opération qui ramène à l'unité une pluralité d'intuition de la conscience ou des sens pour former un concept qui s'exprime par un terme.

 

- Le jugement: Opération qui lie plusieurs concepts et s'exprime par une proposition.

Différentes façon de lier un prédicat à un sujet par l'intermédiaire d'une copule:

Catégorique: S est P   Jugement analytique ou synthétiques.

Hypothétiques: Si S alors P

Disjonctifs. ou S ou P

 

- Le raisonnement: lie des jugements.

Forme de raisonnement:

Le syllogisme:

L'analogie identité de rapport. Pas raisonnement réel, simple association d'idées.

 

C) Problèmes de la logique.

-Sa validité est purement formelle:

je peux obtenir un raisonnement faux mais formellement vrai: les rapports entres mes jugements seront corrects mais les jugements eux même seront faux:

Tous les hommes sont méchants, je suis un homme, donc je suis méchant.

Faux parce que si l'ordre est contraignant ( la conclusion est nécessairement déduite des prémisses ) encore faut-il que les prémisses soient vraies.

 

- Elle n'est pas féconde.

 

 

D ) éloboration d’une méthode.

En se fondant sur la logique, Descartes énonce 4 préceptes qui permettent d’accéder au vrai, dans la seconde partie du Discours de la méthode. 

 

1 Evidence du principe «. Le premier était de ne recevoir jamais aucune chose pour vraie que je ne la connusse évidemment être telle; c'est-à-dire, d'éviter soigneusement la précipitation et la prévention, et de ne comprendre rien de plus en mes jugements que ce qui se présenterait si clairement et si distinctement à mon esprit, que je n'eusse aucune occasion de le mettre en doute.

2) Division des difficultés Le second, de diviser chacune des difficultés que j'examinerais, en autant de parcelles qu'il se pourrait, et qu'il serait requis pour les mieux résoudre.

3) L’ordre du simple au complexe Le troisième, de conduire par ordre mes pensées, en commençant par les objets les plus simples et les plus aisés à connaître, pour monter peu à peu comme par degrés jusques à la connoissance des plus composés, et supposant même de l'ordre entre ceux qui ne se précèdent point naturellement les uns les autres.

4) L’énumération Et le dernier, de faire partout des dénombrements si entiers et des revues si générales, que je fusse assuré de ne rien omettre. » * (cf . appendice en fin de cours sur correspondant dans les regulae )  

Un idéal de connaissance serait une discipline qui conserve la stricte validité de la logique qui puisse s'assurer des objets vrais et qui puisse progresser.

Le modèle de cette rigueur est la connaissance mathématique. Il faut donc considérer dans quelle mesure sa validité est établie.  

 

 

II LES MATHEMATIQUES.

 

axé sur rapport entre maths et philosophie.

A l'origine un rapport étroit entre maths et philo.: Platon " Que nul n'entre ici s'il n'est Géomètre " Cf. aussi Descartes.

Mais il semble exister une hiérarchie entre maths et philo. sur le plan de la connaissance.

Tous les Philo. insistent à la fois sur la fécondité et la certitude des maths par rapport à la philo. D'abord essayer de déterminer les raisons de cette confiance dans les maths puis s'interroger sur les objets maths, la méthode et le rapport qu'elle entretient avec la vérité. Pos. alors de déterminer quel type de connaissance permettent les maths et si sur le plan de la connaissance une comparaison avec la philo. est valide.

 

A)   La confiance dans les maths

 

1) Raisons externes

- La recherche dans les mathématiques est apathique, sans passion dans le sens où elle reste objective.

- Il y a un consensus dans les découvertes maths, un théorème démontré est aussitôt admis. Opposition à la philosophie, domaine apparemment privilégié de la controverse. A propos de la métaphysique: " elle semble plutôt être une arène exclusivement destinée à exercer les forces des jouteurs en des combats de parade, et où aucun champion n'a jamais pu se rendre maître de la plus petite place et fonder sur sa victoire une possession durable. " Kant introduction à la seconde édition de la critique de la raison pure.

 

2) Raisons internes

 

- Les maths utilisent un langage formalisé

            Qui évite le contre sens et la multiplicité

            Qui permet donc une transmission parfaite du message.

On peut s'entendre ou ne pas s'entendre sur l'acception d'un concept comme liberté etc., mais il n'y a pas de contresens à l'usage du nombre 2

 - Les liens qui unissent les termes en math sont logiques.

 

Différence avec les maths: Pas dans les relations logiques: Tout système philo. entretien des relations logiques aussi rigoureux que dans n'importe quel système géométrique.

Si l'assentiment ne vient pas de ce qui relie les objets entre eux il peut venir de la nature des objets eux-mêmes.

 

B)      L’objet des mathématiques

 

1) Constat:

Les objets mathématiques ne sont pas des objets de la nature. Chaque fois qu'un math considère un objet mathématique observable ( un triangle tracé) ce n'est que comme aide. Son véritable objet n'est pas ce qui est tracé mais l'universel qu'il figure: " Ceux qui s'appliquent aux mathématiques ou aux sciences de ce genre se servent de figures visibles et raisonnent sur elles en pensant, non pas à ces figures, mais aux originaux qu'elles reproduisent. Leur raisonnement porte sur le carré en soi, non sur la figure qu'ils tracent. Platon République, livre VI, 510c

La réalité des objets mathématiques n'est donc pas un problème

"L'arithmétique, la géométrie et les autres sciences de ce genre ne traitent que de choses fort simples et fort générales sans se mettre en peine de savoir si elles sont dans la nature ou si elles n'y sont pas. " Descartes Méditations, VI

 

2) Nécessité.

Non seulement il n'est pas nécessaire que les objets maths soient dans la nature mais il est nécessaire qu'ils ne soient pas des objets réels: Ce qui permet d'étudier les objets de la nature est l'expérience. Or l'expérience permet simplement de constater . Elle ne permet pas de déterminer la nécessité de ce qu'on a constaté. Ce n'est pas une certitude du même ordre que la certitude mathématique: " L'expérience nous dit bien ce qui est mais non que ce qui est ne puisse être autrement." Kant Critique de la raison pure (Théorie transcendantale de la méthode.)

L'élément déterminant de la certitude en math c'est que ces objets sont en dehors de l'expérience, a priori.: Les maths " traitent objets si purs et si simples qu'elles n'admettent absolument rien que l'expérience ait rendu incertain et qu'elles consistent toutes entières à tirer des conséquences par voie de déductions rationnelles." Descartes règles pour la direction de l'esprit II.

Donc ce qui importe en maths ce ne sont pas les objets mais les rapports entre les objets. C'est cela qui fonde la certitude en mathématique.

Problème il parait étrange de parler de la certitude d'un science dont les objets sont inexistant => question de la validité des maths, Simple jeu de l'esprit ?

 

C)   La validité des maths

 

1) Méthode.

Ce qui assure la validité des mathématiques c'est sa fécondité: Elle consiste à déduire d'un petits nombres de propositions premières un ensemble de propositions enchaînées aux premières par des liens logiques , nécessaires donc indiscutables: Méthode hypothético-déductive.

Dès que l'on a admis les prémisses la conclusion est nécessaire.

 

2) Problème de l'évidence.

La vérité en mathématique dépend de la vérité de ses propositions premières ou axiomes.

Ex: Par 2 points ne passent qu'une seule droite.

Seulement cette évidence est postulée,, non vérifiée.

Essai de démontrer logiquement la validité des postulats mathématique: Un postulat différent amènera un système abhérent, Un système géométrique construit sur d'autres postulat que ceux d'Euclide sera obligatoirement absurde si les postulats sont vrais.: démonstration par l'absurde

Or résultat contraire: Lobatchévski a abouti à un système parfaitement cohérent.

Ex: La géométrie classique postule que si l'on a un point x et une droit A on une seule droite B // à A passant par x.

Dans le système qui postule un tel axiome on peut déduire que la somme des angles d'un triangle est égale à deux droits.

Cependant dans un système qui postule que par le point x passe plusieurs // à A on pourrait déduire un théorème selon lequel la somme des angles d'un triangle rectangle est inférieure à 2 droits. D'ailleurs nous avons des géométries où la somme des angles est inférieures à deux droits, les hyperboliques, et d'autres où elles sont supérieures, les elliptiques. Ces dernières sont d'ailleurs utilisées pour modéliser une géométrie à la surface de la terre, comme on le voit sur ce schéma. 

ces théorèmes contradictoires ne sont pas l'un vrai et l'autre faux, ils ne s'excluent que dans des systèmes différents.

Dans La science et l'hypothèse le mathématicien Henri Poincaré considère que nos axiomes géométrique sont "de pures conventions" car si ce n'était pas le cas "il n'y aurait pas de géométrie non euclidienne"

 

A comparer avec l'ancienne extrême confiance d'un Descartes :

Nos idées pures sont toute « innées en nos esprits, ainsi qu’un roi imprimerait ses lois dans le cœur de tous ses sujets. Descartes Lettre à Mersenne 15 avril 1630

CONCLUSION.

Les axiomes ne sont donc pas des vérités premières mais un corps de conventions indémontrables. la notion de vérité comme l'accord de l'esprit avec des objets extérieurs est abandonné au profit de la seule validité qui sanctionne un lien hypothético déductif entre des axiomes indémontrables et des conclusions ou théorèmes.

 

D) Rapport des maths à la philosophie et au réel.

 

1) Position des maths par rapport au réel.

- La validité des maths repose sur la seule validité de ses liens. Donc sur des normes internes à l'esprit humain. L'accord des maths avec la réalité sensible ( pas systématique cf. géométrie non Euclidienne ) ne décrit que l'application possible des mathématique, non leur vérité.

Il n'y a pas de hiérarchie entre des systèmes de géométrie appliquée et de géométrie théorique.

- Question: Dans ce cas comment se fait-il qu'une partie des maths soit applicable à la réalité qu'un théorème géométrique puisse par exemple servir à mesurer un champ?

REPONSE: Parce que les maths construisent leur objet dans l'espace et le temps, l'intuition pure c'est à dire dans la structure mentale par laquelle nous percevons le monde.

Les maths disposent de la forme a priori de la sensibilité:

Par l'imagination je peux construire un triangle en représentant l'objet qui correspond à ce concept.

Il existe don c bien une forme de toute expérience dans laquelle les maths peuvent se représenter leurs objets et les conclusion établies sur ces objets seront susceptibles d'applications pratiques puisque c'est a travers la forme dans laquelle nous construisons les objets mathématiques que nous percevons la réalité. Cependant la validité d'une telle entreprise reste limitée à la structure perceptive de l'esprit humain. La validité des maths est universelle, elle n'est pas absolue.

 

2) Rapport des maths à la philosophie:

- Les objets maths ne sont pas des concepts mais des constructions de concepts " intuition qui peut être donnée a priori comme correspondante au concept." Ex: figure du géomètre, symbolisme algébrique.

les maths ne s'interroge donc pas sur ce que sont ses objets, elle les pose et les définit au préalable. Un mathématicien ne se demande pas ce qu'est le nombre, il cherche à établir des liens entre les nombres.

Ses seules définition sont une description de la construction d'un objet et de ses propriétés ( définition générique.)

Ex: " La sphère est la figure comprise sous la surface engendrée par un demi cercle lorsque, son diamètre restant immobile, le demi cercle tourne jusqu'à ce qu'il soit revenu au même endroit d'où il avait commencé à se mouvoir. " Euclide Eléments Livre IX définition 1114

RESUME

- J'ai un concept

- Je construis par l'imagination un objet correspondant

- Je travaille dessus.

Les objets sont construits en même temps que définis, le vrai travail commence après

- La philosophie elle est une connaissance par concept pas par construction de concepts.

Elle cherche aussi des liens entre les concepts ou internes à eux la définition dans ce cas des donc plus un aboutissement qu'un travail préliminaire. Cf Kant la définition est un problème non un moyen.

La philosophie n'a donc pas de présupposés si elle considère des hypothèses elle les considère toujours comme tel, non comme un principe.

" les hypothèses sont des points de départ et des tremplins pour s'élever jusqu'au principe universel qui ne suppose plus de conditions. " république VI, 511b

 

CONCLUSION

La confiance dans les maths est justifiée, ses liens sont nécessaires et se objets définis.

Les définitions sont cependant basées sur des propositions 1ères dont le seul critère de vérité est l'évidence.

L'Echec d'un validation par l'absurde de ces propositions rendra cependant cette évidence problématique.

Il reste qu'il existe un accord entre les maths et le réel.

Ce rapport révèle en fait que les maths, loin d'avoir les choses pour objets ont pour objet des constructions mentales qui s'accordent avec le réel parce qu'elles sont construites dans les formes ) travers lesquelles nous percevons les objets: l'espace et le temps.

Les maths ne s'intéressent donc pas au réel, ceci reste du ressort de la philo., qui, si elle ne peut apporter de définition uniques et définitives à propos de ses objets principaux, en est incapable parce qu'elle considère tout le réel pour chercher ce qu'il est.

 

 

Pour vous amuser avec la logique : 

 

http://www.psychotechniquement.com/test_psychotechniques_lessyllogisme.html#dvi_matrice1

 

PETITS EXERCICES DE LOGIQUE (avec solution)

Quelques personnes qui méritent la victoire ont ce qu'elles méritent.

Nul autre que le brave ne mérite la victoire

Quelques braves ont ce qu'ils méritent

 

Aucun Français n'ame le pudding

Tous les Anglais aiment le pudding

Les anglais ne sont pas des Français

 

Les poules n'ont pas de dents

Les poules sont gourmandes

Quelques créatures gourmandes n'ont pas de dents

 

Aucun philosophe n'est prétentieux

Quelques individus prétentieux n'aiment pas jouer à la roulette

Quelques personnes ne jouant pas à la roulette ne sont pas philosophes

 

Aucun pays déjà exploré n'est infesté de dragons

Les pays inexplorés attirent l'imagination

Tout pays infesté de dragons attire l'imagination

 

Syllogismes

 

Aucun docteur n'est enthousiaste

Vous êtes enthousiaste

Vous n'êtes pas docteur

 

Je l'ai lu dans un journal

Tous les journaux racontent des mensonges

C'était un mensonge

Faux. Conclusion exacte: Le journal dans lequel je l'ai lu raconte des mensonges

 

Une affaire mal dirigée ne fait pas de bénéfices

Les chemins de fer ne sont jamais mal dirigés

Tous les chemins de fer font des bénéfices

Faux. Conclusion exacte: Il existe d'autres affaires que les chemins de fer qui ne font pas de bénéfices

 

Quelques gourmets manquent de générosité

Tous mes oncles sont généreux

Mes oncles ne sont pas des gourmets

Faux. Conclusion exacte: Quelques gourmets ne sont pas mes oncles

 

Aucun fossile ne peut être malheureux en amour

Une huître peut être malheureuse en amour

Les huître ne sont pas des fossiles

 

Aucune grenouille n'est poète

Quelques canards ne sont pas poètes

Quelques canards ne sont pas des grenouilles. Sophisme

 

PETITS EXERCICES DE LOGIQUE

 

1) Trouver la conclusion

Quelques personnes qui méritent la victoire ont ce qu'elles méritent.

Nul autre que le brave ne mérite la victoire

 

Aucun Français n'aime le pudding

Tous les Anglais aiment le pudding

 

Les poules n'ont pas de dents

Les poules sont gourmandes

 

Aucun philosophe n'est prétentieux

Quelques individus prétentieux n'aiment pas jouer à la roulette

 

Aucun pays déjà exploré n'est infesté de dragons

Les pays inexplorés attirent l'imagination

 

2) Syllogismes            Vrai ou faux ?

 

Exemple :

Aucun docteur n'est enthousiaste

Vous êtes enthousiaste

Vous n'êtes pas docteur Vrai

 

Je l'ai lu dans un journal

Tous les journaux racontent des mensonges

C'était un mensonge

Vrai ou faux ?

 

Une affaire mal dirigée ne fait pas de bénéfices

Les chemins de fer ne sont jamais mal dirigés

Tous les chemins de fer font des bénéfices

Vrai ou faux ?

 

Quelques gourmets manquent de générosité

Tous mes oncles sont généreux

Mes oncles ne sont pas des gourmets

Vrai ou faux ?

 

Aucun fossile ne peut être malheureux en amour

Une huître peut être malheureuse en amour

Les huître ne sont pas des fossiles

Vrai ou faux ?

 

Aucune grenouille n'est poète

Quelques canards ne sont pas poètes

Quelques canards ne sont pas des grenouilles.

Vrai ou Faux

 

Toutes les roses sont des fleurs, 

Certaines fleurs fanent vites

Certaines roses fanent vite

Vrai ou Faux ?